Funkcje hiperboliczne

typ funkcji zdefiniowanych przez funkcję wykładniczą

Funkcje hiperboliczne – zbiór sześciu funkcji zdefiniowanych przez działania arytmetyczne na funkcji wykładniczej[1]:

Wykres funkcji sinh
Wykres funkcji cosh to krzywa łańcuchowa.
Wykresy funkcji sinus, cosinus i tangens hiperboliczny
Wykresy funkcji cotangens, secans i cosecans hiperboliczny
nazwa symbole wzory
sinus hiperboliczny
cosinus hiperboliczny
tangens hiperboliczny
cotangens hiperboliczny
secans hiperboliczny
cosecans hiperboliczny

Funkcje te mogą mieć dziedzinę rzeczywistą lub zespoloną i zalicza się je do funkcji elementarnych[1]. Mają własności analogiczne do funkcji trygonometrycznych. Nazwę swoją zawdzięczają temu, że para liczb (cosh(t),sinh(t)) tworzy wykres hiperboli (jej prawej, dodatniej części).

Przez funkcje hiperboliczne można definiować funkcje polowe, inaczej funkcje area lub areafunkcje – są to funkcje odwrotne tych hiperbolicznych, wyrażane też przez logarytmy.

Dzieje

edytuj

Do nauki wprowadził je włoski matematyk Vincenzo Riccati, który publikował swoje rozważania w Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, wydawanym między 1757 a 1762 rokiem[2]. Nadał im on nazwy sinus i cosinus hiperbolico i zastosował skróty Sh i Ch, stosowane do dziś w Rosji i we Francji.

Szwajcarski matematyk Johann Heinrich Lambert upowszechnił te funkcje, pokazując ich zastosowanie w trygonometrii w dziele Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques (1762). Lambert zostawił im nazwy zaproponowane przez Riccatiego, ale nadał im skróty sinh i cosh stosowane do dnia dzisiejszego[3].

Związki trygonometryczne

edytuj

Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci   jest okręgiem (jednostkowym), analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci   wyznacza hiperbolę.

Prawdziwe są również wzory:

 
 
 

Ponadto korzystając ze wzoru Eulera

 

można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, wyrażony w liczbach zespolonych:

 
 
 
 

skąd:

 
 
 
 

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem   (sinh, cosh, sech, csech), albo   (tgh, ctgh).

Własności

edytuj

Jeśli   oznacza złotą proporcję, to:

  •  
  •  

Zależności hiperboliczne

edytuj
Osobny artykuł: jedynka hiperboliczna.

Odpowiednikiem „jedynki trygonometrycznej

 

jest tzw. „jedynka hiperboliczna”:

 

Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.

Pochodne i całki

edytuj
 
 
 
 

Rozwinięcia

edytuj
Szeregi potęgowe
 
 
Iloczyny nieskończone
 
 

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. a b funkcje hiperboliczne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02].
  2. Robert E. Bradley, Lawrence A. D’Antonio, Charles Edward Sandifer, Euler at 300: an appreciation, Mathematical Association of America, 2007, s. 100.
  3. Georg F. Becker, Hyperbolic functions, Read Books, 1931, s. xlviii.

Linki zewnętrzne

edytuj