De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
En matemàtiques, la constant de Gauss, anotada G, és una constant que es defineix com el nombre invers de la mitjana aritmètico-geomètrica entre 1 i l'arrel quadrada de 2.
El seu valor aproximat és:
- [1]
i la seva fracció contínua és:
- [2]
La constant de Gauss pot ser utilitzada en la definició de les constants de la lemniscata, sent la primera:
i la segona:
que intervenen en el càlcul de la longitud d'arc d'una lemniscata.
Aquesta constant rep el seu del matemàtic alemany Carl Friedrich Gauss, que va descobrir el 1799 la identitat següent:
sigui:
on és la funció Beta d'Euler, definida com:
La constant de Gauss també pot ser expressada mitjançant la funció theta de Jacobi:
Una sèrie ràpidament convergent a la constant de Gauss és la següent:
La constant també ve donada pel producte infinit:
També apareix en el càlcul de les integrals definides:
La constant de Gauss es pot utilitzar per expressar la funció gamma amb l'argument d'1/4:
I com que π i Γ(1/4) són algebraicament independents (demostrat el 1996 pel matemàtic rus Yuri Nesterenko),[3] amb Γ(1/4) irracional, tenim que la constant de Gauss és transcendental.
- ↑ (successió A014549 a l'OEIS)
- ↑ (successió A053002 a l'OEIS)
- ↑ Nesterenko, Y. «Modular Functions and Transcendence Problems». Comptes rendus de l'Académie des sciences, 322, 10, 1996, pàg. 909–914.