Tarte (matematika)

Matematikan, tartea (erreala) zenbaki errealen multzo bat da, propietate hau betetzen duena: tarteko edozein bi zenbakiren artean dagoen zenbakia ere tartearen barnean dago.

Adibidez, ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$ betetzen duten zenbaki guztien multzoa ${\displaystyle 0}$ eta ${\displaystyle 1}$, eta bitarteko zenbaki guztiak barnean hartzen dituen tartea da. Beste tarte bat ${\displaystyle \mathbb {R} }$ da, zenbaki erreal guztien multzoa alegia eta baita multzo hutsa.

${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ arteko zenbakien tartea, ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ barnean hartuz, ${\displaystyle [a,b]}$ eran adierazten ohi da. ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ tartearen muturrak dira.

Muturren bat multzotik kanpo dagoela adierazteko, idazle batzuek kako zuzenaren ordez parentesia erabiltzen dute. Orduan, honela adierazten dugu:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x<b\},\\{}[a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x<b\},\\(a,b]&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x\leq b\},\\{}[a,b]&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}}$

Oharra: ${\displaystyle (a,a)}$, ${\displaystyle [a,a)}$, eta ${\displaystyle (a,a]}$ multzo hutsa adierazten dute, ${\displaystyle [a,a]}$ , berriz, ${\displaystyle \{a\}}$ ale bakarreko multzoa da.

Nazioarteko estandarrak ISO 31-11 tarteetarako beste notazio bat ere definitzen du. Notazio horrek kako zuzenak baino ez ditu erabiltzen muturrak barruan ala kanpoan dauden adierazteko, honela:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left]a,b\right[&=\{x\,|\,a<x<b\},\\\left[a,b\right[&=\{x\,|\,a\leq x<b\},\\\left]a,b\right]&=\{x\,|\,a<x\leq b\},\\{}[a,b]&=\{x\,|\,a\leq x\leq b\}\end{aligned}}}$

Tarteak sailkatzeko bi irispide jarrai ditzakegu: ezaugarri topologikoen arabera (tarte irekiak, itxiak eta erdiirekiak edo erdiitxiak) edo ezaugarri metrikoen arabera (luzera: nulua, finitua ez nulua, edo infinitua).

Hona hemen kasu guztiak, non a ≤ b, x tarteko puntu bat, eta l tartearen luzera diren:

Notazioa	Tartea	Luzera (l)	Deskripzioa
${\displaystyle [a,b]\,}$	${\displaystyle a\leq x\leq b}$	${\displaystyle b-a\,}$	Luzera finituko tarte itxia.
${\displaystyle [a,b[\ \ \mathrm {\ edo} \ \ [a,b)\!}$	${\displaystyle a\leq x<b\!}$	${\displaystyle b-a\,}$	Tarte itxia a puntuan, irekia b puntuan (erdiitxia, erdiirekia).
${\displaystyle ]a,b]\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (a,b]\!}$	${\displaystyle a<x\leq b}$	${\displaystyle b-a\,}$	Tarte irekia a puntuan, itxia b puntuan.
${\displaystyle ]a,b[\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (a,b)\!}$	${\displaystyle a<x<b\!}$	${\displaystyle b-a\,}$	Tarte irekia.
${\displaystyle ]-\infty ,b[\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (-\infty ,b)\!}$	${\displaystyle x<b\!}$	${\displaystyle \infty }$	Tarte (erdi) irekia.
${\displaystyle ]-\infty ,b]\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (-\infty ,b]\!}$	${\displaystyle x\leq b\!}$	${\displaystyle \infty }$	Tarte (erdi) itxia.
${\displaystyle [a,\infty [\ \ \mathrm {\ edo} \ \ [a,\infty )\!}$	${\displaystyle x\geq a\!}$	${\displaystyle \infty }$	Tarte (erdi) itxia.
${\displaystyle ]a,\infty [\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (a,\infty )\!}$	${\displaystyle x>a\!}$	${\displaystyle \infty }$	Tarte (erdi) irekia.
${\displaystyle ]\infty ,+\infty [\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (\infty ,+\infty )\!}$	${\displaystyle x\in \mathbb {R} \!}$	${\displaystyle \infty }$	Aldi berean tarte irekia eta itxia.
${\displaystyle \{a\}\!}$	${\displaystyle x=a\!}$	${\displaystyle 0\!}$	luzera nuluko tarte itxia. Ale bakarreko multzoa da.
${\displaystyle \{\}=\emptyset \!}$	x ez da existitzen	Luzerarik gabe	Multzo hutsa.

• Tarteen oinarrizko notazioa
• Tarteen notazioa
• Tartea